Estudo dirigido - Transformação de variáveis aleatórias

Autor

Prof. Lupércio França Bessegato

Data de Publicação

22 de abril de 2025

Objetivo

Construir códigos na linguagem R para gerar números aleatórios de diversas distribuições usando, basicamente, sequência de números aleatórios uniformemente distribuídos entre 0 e 1, ou seja, usando apenas o comando runif() em R. Discutir o conceito de eficiência do algoritmo.

Leituras sugeridas

  • CASELLA, G.; BERGER, R. L. Inferência estatística. São Paulo: Centage Learning, 2010.
  • ROBERT, P. C.; CASELLA, G. Introducing Monte Carlo methods with R. Springer, 2010.
  • ROSS, S. M. Probabilidade: um curso moderno com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2010.
  • ROSS, S. M. Simulation. 5th Ed. London, UK: Academic Press, 2006.

Estudo e desenvolvimento

  1. Leia atentamente o material postado sobre transformações de variáveis aleatórias. Revise os conceitos e instrumentos aprendidos em Cálculo de Probabilidade, porque eles serão usados intensivamente na disciplina. Os conceitos de distribuição conjunta, marginal, condicional serão usados intensamente, assim como transformações (principalmente o uso de jacobiano em transformações).

  2. Construa os algoritmos de todos os geradores de números aleatórios discutidos no material postado sobre transformações de variáveis aleatórias. Refaça e entenda todas as transformações envolvidas.

  3. Leia o Capítulo 4.1 Generating discrete random variables, de ROSS (2006). Use apenas a função runif e implemente os geradores de números aleatórios dos exemplos 4a, 4b, 4c e 4d.

  4. Leia a Seção 1.1.1 e verifique os procedimentos que poderiam ser utilizados para verificar a qualidade de seu gerador de números aleatórios uniformemente distribuídos. Aplique-os em seu gerador, analise e conclua sobre sua qualidade.

  5. Leia a Seção 4.3: Generating binomial random variables, entenda as relações probabilísticas envolvidas e implemente o algoritmo proposto.

  6. Leia a Seção 4.4: Generating Poisson random variables, entenda as relações probabilísticas envolvidas e implemente o algoritmo proposto. Compare seus resultados com aqueles obtidos com o algoritmo sugerido no material postado sobre transformações de variáveis aleatórias.

  7. Leia os posts “Proof of the Box-Muller Method” e acompanhe a prova da relação entre Uniformes independentes e normais padrão independentes. Refaça a prova usando o método do Jacobiano para provar a relação de Box-Muller.
    https://math.stackexchange.com/questions/1110168/proof-of-the-box-muller-method

  8. Perguntas para motivar uma pesquisa sobre o tema:

    • Como gerar a distribuição t-Student usando a representação mistura de sua densidade?
    • Como gerar a distribuição qui-quadrado não-central usando a representação mistura de sua densidade?

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