Os métodos de simulação estão baseados na geração de variáveis aleatórias, com frequência independentes e distribuídas de acordo a uma distribuição f, que não é necessariamente explícita, como por exemplo, em modelos de dados censurados, em modelos de mistura, em modelos de média móvel, etc. Inicialmente, vamos focar na geração de variáveis aleatórias que são uniformes no intervalo entre 0 e 1, porque ela oferece representação probabilística básica de aleatoriedade. As variáveis aleatórias \(X\) são funções de \([0, 1]\) para o contradomínio \(R_X\), transformadas pela inversa generalizada.
Para uma função crescente \(F\) em \(\mathbb{R}\), \(F^{-1}\), é a função definida por: \[ F^{-1}(u) = \inf\{x; F(x) \geq u\} \] Temos então o seguinte teorema, conhecido como teorema da inversa (ou probability integral transform)
Se \(U\) tem distribuição uniforme entre 0 e 1, então a variável aleatória \(F^{-1}(U)\) tem a distribuição \(F\).
Prova: Para \(\forall u \in [0,1]\) e para \(\forall x \in F^{-1}\left([0,1]\right)\), a inversa generalizada satisfaz as condições \[ F\left( F^{-1}(u) \right) \geq u \, \text{ e } \, F^{-1}\left(F(x) \right) \leq x \] e, portanto, \[ \{(u,x): F^{-1}(u) \leq x \} = \{(u,x): F(x) \geq u \} \] logo \[ \operatorname{P} \left\{F^{-1}(u) \leq x \right\} = \operatorname{P} \left\{U \leq F(x) \right\} = F(x). \] Portanto para gerar uma variável aleatória \(X \sim F\) basta gerar \(U\) de acordo com uma uniforme entre 0 e 1 e então fazer a transformação \(x = F^{-1}(u)\). A geração de variáveis aleatórias uniformes é portanto uma condição chave no comportamento do métodos de simulação para outras distribuições de probabilidade, principalmente para aquelas que podem ser representadas como uma transformação determinística de variáveis aleatórias uniformes. Importante observar que, o teorema acima também implica que uma má escolha do gerador de números aleatórios uniformes pode invalidae o resultado do procedimento de simulação que utiliza esse gerador.
Suponha usar um gerador de números aleatórios uniformes para gerar 3 valores independentes da distribuição com função de densidade de probabilidade dada por:
\[ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(2-x) &, \text{ para }\, 0\leq x <2 \, \text{ e} \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases} \]
A função de distribuição de probabilidade acumulada de \(X\) é: \[ F_X(x) = \int_0^x \frac{1}{2}(2-v)\, \mathrm{d} v = \frac{1}{4}[4-(2-x)^2] \] Parametrizando em \(u\), temos que \(F_X^{-1}(U) = X \Rightarrow F_X(X) = UX\), ou seja \[ \frac{1}{4}[4-(2-X)^2] = U \Rightarrow 2 - 2 \sqrt{1-U} = X \]
ou seja, \(X = 2[1 ´\sqrt{1 - u}]\), com \(U \sim \mathrm{Uniforme}(0, 1)\) e \(0 \leq X < 2\). Se gerarmos, por exemplo, três números aleatórios \(U_1 = 0,4125\), \(U_2 = 0,0894\) e \(U_3 = 0,8302\), geraremos três valores independentes da variável aleatória \(X\), \(X_1 = 0,4670\), \(X_2 = 0,0915\) e \(X_3 = 1,1759\).
Uma aplicação imediata do teorema da inversão é na geração de números aleatórios independentes e distribuídos de acordo com uma exponencial com média \(\frac{1}{\lambda}\), ou seja, cuja função de densidade de probabilidade é: \[ f(x) = \begin{cases} \lambda \operatorname{e}^{-\lambda x} &, \text{ para }\, x > 0 \, \text{ e} \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases} \] A função de distribuição acumulada da variável aleatória \(X\) é: \[ F_X(x) = \begin{cases} 1 - \operatorname{e}^{-\lambda x} &, \text{ para }\, x > 0 \, \text{ e} \\ 0 & \text{caso contrário} \end{cases} \]
então, tem-se que \(1 - \operatorname{e}^{-\lambda X} = U\), com \(U \sim \mathrm{Uniforme}(0, 1)\) , com \(X = - \frac{\ln(1-U)}{\lambda}\). Como \((1-U)\) também tem distribuição uniforme entre 0 e 1, podemos afirmar que: \[ X = \frac{-\ln(U)}{\lambda} \sim \mathrm{exponecial}(0,1) \] Dessa maneira, gerando uma sequência de \(n\) números aleatórios independentes e distribuídos de acordo a uma uniforme entre 0 e 1, \(U_1, U_2, \dots, U_n\) \[ \Big \{X_i = \frac{-\ln(U_i)}{\lambda}; \quad i = 1, 2, \dots n \Big \} \] será uma sequência de números aleatórios independentes a acordo a um exponencial ().